第五周 邏輯的幾何學
13．映射分析關係
我們在關於邏輯的第一講瞭解到，邏輯（這裏指分析邏輯）從命題的具體的真抽象出它的赤裸的（本質上是數學的）形式，它的真值，並把最主要的注意力集中在這種形式上。這一周我想探索一些途徑，把這種赤裸的形式轉變為更豐滿的圖畫形式。
從亞里斯多德開始（甚至在他之前），哲學家幾乎普遍認識到，邏輯學與數學密切相關。直到十九世紀中葉，大多數哲學家仍然認為這種聯繫主要限於算術：“加、減、乘、除”這樣的函數，與“是”、“否”等邏輯運算之間的類似性是非常清楚的。但後來，一位名叫喬治·布爾（George Boole
，1815-1864）的學者寫了一本書，論證了他所謂的“邏輯的代數學”。他證明了，代數關係在很多方面也與邏輯關係密切相關。
布爾的觀點對於入門課而言過於複雜了，我之所以提到他的發現，是因為我相信一個類似的發現正在幾何領域等著我們。因此，在前面的課程裏，我一直在以符合我所謂的“邏輯的幾何學”的方式使用幾個簡單的圖形。這一周，我要詳細解釋這些、以及其他圖形如何真正充當了邏輯關係的精確“映射”。前兩講將研究如何建立分別與分析邏輯和綜合邏輯相對應的映射；第15講會給出很多例子，說明如何運用這樣的映射激發並加深我們的洞識。
許多簡單的幾何圖形的結構與最基本的邏輯區分之間，可以建立起一種全面的類比關係，然而過去很少有人（如果曾經有過的話）充分認識到這一點。這個類比的起點是分析性的同一律（A=A），它設定某物“就是它所是的”。為了選出一個能精確體現這個最簡單的邏輯法則的圖形，只需想一想最簡單的幾何圖形：一個點。理論上，一個點僅僅作為一個位置而存在，不向任何方向擴展；但是很自然，圖V.1中代表一個點的那個黑斑不得不有所擴展，以便讓我們看見它的位置。
•A
圖V.1 映射“同一”關係的點
不矛盾律是將同一律的“A”與它的反面“-A”相對比。在一個方向上延伸一個點、使它超出自身，這樣的幾何圖形叫做“線”。當然有兩種線：直線和曲線。所以，用幾何圖形描繪“A”和“-A”的邏輯對立的好辦法也有兩種：一條線段的兩端，或者一個圓的內部與外部。如圖V.2所示：
(a) 圓圈
(b) 線
圖V.2 映射一個1LAR的兩種方式
注意，我在圖中只標了“+”和“-”。這兩個符號直接來自不矛盾律，只要把“A”從等式“+A≠-A”的兩端去掉就可以了。“A”是“某項內容”的形式表示，因此，去掉這個符號恰恰意味著，在邏輯的幾何學裏，我們只關心我們使用的幾組概念的純粹的邏輯形式。因為這個簡單的區分來自分析邏輯的法則，所以我把它叫做“第一級分析關係”（或“1LAR”）。我們會看到，用更簡單的運算式“+ ≠ -”（即，“正”不是“負”）代表這個法則，會使我們更容易處理更複雜、更高級的邏輯對立。
圓或線段幾乎可以映射兩個對立事物之間的任何區分。正如我們上周從莊子那裏學到的，這種區分在我們思考世界的常用方法中是司空見慣的。我們自然而然地將事物分成一對對的對立物：雄與雌，白天與黑夜，冷與熱，等等。我相信，大多數情況下，線段是體現這種區分的最恰當的方式。圓圈劃出了“內部”與“外部”的界線，所以只有當兩項事物之間的關係不平衡時（例如，當一個限制另一個時），才應該採用這種圖形，反之則不然。
如果我們在此止步，邏輯的幾何學就不是一門非常有意思的學科。任何人都能毫不費力地看出對立的兩項之間的邏輯關係，更不必說單個項和它自身的關係。只有當各項之間沒有規定明顯的對立關係時，點、線段和圓形的這種運用才是有幫助的。圓形更是如此。例如第7講（見圖III.5與圖III.10），我們用圓形來體現康得對必然無知與可能有知的區分，它幫助我們牢記兩者間的正確關係：前者限制著後者的範圍。
無論如何，邏輯的幾何學中最有趣、也是最有用的工具之一，來自不矛盾律對自身的直接應用。我指的是這種情況：兩個對立概念中的每一方，都進一步分裂為兩個對立的概念。為了說明這一點，讓我們以“一天”這個熟悉的概念為例。我們都知道如何完成簡單的分析過程——把 “一天”分為近乎相等的、對立的兩半：“白天”和“黑夜”（即，“非白天”）。這是1LAR的一個範例。然而，像大多數1LAR一樣，如果我們試著將這個嚴格的劃分應用於一天中的每個時刻，就會發現，一天中有些時刻我們無法確定它是“白天”還是“黑夜”；因此，我們要在“黃昏”與“黎明”之間做進一步的分析性劃分。
為了把它轉變成我們的邏輯工具的形式，用“+”、“-”的組合代替這些區分的實際內容，我們只需為簡單的1LAR原來的每一項，分別依次加上另外一個“+”和“-”。於是產生了“第二級分析關係”（或“2LAR”）的四個“成分”（即，一個或多個 + / - 項的組合），如下：
--
+-
-+
++
我把第一個和最後一個成分（即，“--”和“++”）叫做“純粹的”，因為它們的兩個項是相同的；把中間的兩個成分（即，“+-”“-+”）叫做“混合的”，因為它們都是一個“+”和一個“-”的組合。
如果一對對立的項用一條線段來表示，兩對對立的項就最好用兩條線段的組合來表示。正如我們多次見過的，十字的四個端點可以簡潔而平衡地表現這種四重關係。但同一個2LAR也可以用正方形的四個角來表示（參看圖II.3）。我把這四個成分分別映射到十字和正方形上，如下：
(a) 十字
(b) 正方形
圖V.3 映射一個2LAR的兩種方式
每個映射裏的四個成分的位置和箭頭的方向，在某種意義上講是任意的。就是說，同樣的成分可以用多種不同的方式進行安排，但它們依然準確地體現了一個2LAR。然而，在試驗了建立這種映射的所有方法之後，我得出結論，上面這兩個例子體現了最常見、最適當的模式。而且，這兩個映射都遵循一套固定的規則，這些規則能幫助我們避免建立映射時的混亂和不一致——儘管它們也許並不比其他規則更好。我選用的規則很簡單：（1）優先考慮每個成分的第一項，盡可能把“+”成分放在“-”成分的上方和/或左方；（2）第一項相同的成分之間的箭頭，由純粹成分指向混合成分；（3）第一項不同的成分之間的箭頭，由混合成分指向純粹成分；（4）只包含一個項（即，簡單的對立：“+”和“-”）的兩個成分之間的線段，兩端都要有箭頭，以表明二者間的張力或平衡。
圖V.3a中，四個成分按照它們的互補性對立關係映射到十字上。就是說，位於每條線段的兩個端點的成分都有一個相同的項。例如，兩個成分的第一項也許都是“+”，第二項卻一個是“+”、一個是“-”。相反，映射到圖V.3b的正方形上的成分，是按照矛盾性對立關係組織起來的。意思是說，位於正方形的任意一角上的成分，與對角上的成分完全沒有交迭。例如，如果一個角上的成分的第一項是“+”，其對角上的成分的第一項就是“-”；第二項的關係也是如此。
事實上，在大多數邏輯課本裏都能找到與上述正方形相當一致的圖形。因為它是人們通常所說的“邏輯方陣”的形式基礎。已經證明，這種方陣非常有助於邏輯學家澄清以不同方式（即，以“矛盾”或“反對”的方式）相對立的命題之間的形式關係。但我不想在此詳述這種廣為人知的應用。相反，既然我已經在講課中多次使用十字映射，就讓我們更為詳細地看一下它如何能體現互補性對立的事物之間的關係。
十字映射使我們能把四個對立概念之間的、四種不同類型的“第一級”邏輯關係（即，簡單的“+/-”對立）形象化。前兩種可以被稱為“主要”類型。第一種體現在每個成分的第一項；如我們可以在圖V.3a中看到的，位於同一根軸的兩端的成分，第一項是相同的。因此，每個成分的第一項實際上標注了它所在的軸：於是可以把垂直軸稱為“+”軸，水平軸稱為“-”軸。第二種類型體現在每個成分的第二項，它表示每根軸的兩端之間的對立。因此，映射到2LAR十字上的每個成分的第二項體現了“極性的”（即，互補的）對立——有某些共同之處的兩個概念之間的對立。共同因素體現在位於同一根軸的兩個成分的第一項上：垂直軸是“+”，水平軸是“-”。
十字映射上可以看到的第三、第四種“第一級邏輯關係”，可以被稱為“次級”類型，因為它們不像“主要”類型那麼明顯。因此，當我們想讓人們注意它們時，一個有效的辦法是穿過十字的中心劃一條斜線——從右上角劃到左下角，或者從左上角劃到右下角。前一條斜線讓我們注意到次級的互補關係（如圖I.1、III.3、與IV.5所示），它存在于第一項不同、而第二項相同的成分之間（即，存在於“--”與“+-”之間、“-+”與“++”之間）。後一條斜線突出了第四種“第一級邏輯關係”，它存在於矛盾性對立的成分之間（即，純粹成分“++”和“--”之間，以及混合成分“+-”和“-+”之間）。迄今為止，我還沒有把這種斜線放進我使用的映射裏；然而，每當我們想讓人格外注意2LAR的兩對直接對立的概念時，加上這條斜線是非常合適的。
構成一個2LAR的任何一組概念之間都存在著這種複雜的邏輯關係網絡，理解這個網路有助於我們明白，十字圖形並非對任何一組隨意選出的 “四概念”關係都構成恰當的映射。或者至少，如果我們這樣做了，它體現的也不是2LAR的邏輯形式。那時，它最多只是一幅不錯的圖畫，而在最糟的情況下，它會成為於簡化的誤導。因為，只有當一組概念能夠顯示出上面定義的那套關係、而且可以用2LAR的四種“+/-”成分來體現時，才應該被映射到這樣的十字上。
提醒過這一點之後，我現在可以補充說，實際上，有一種很簡單的辦法，可以測試任何一組我們認為可能是按2LAR的形式聯繫起來的四個概念。我們只需找到這樣兩個可以用“是或否”來回答的問題：當我們把它們的答案放在一起時，能產生對四個被測概念的簡單描述。例如，為了證明上面提到的四個概念——“白天”、“黑夜”、“黃昏”和“黎明”——構成了一個2LAR，我們只需設置兩個問題：（1）它是明顯的白天或是黑夜（過渡時段的對立面）嗎？（2）它比在此之前的那個時段更亮嗎？由此產生四種可能的情形，對應著2LAR的四個成分：
＋＋ 是，它是明顯的；是，它更亮（=“白天”）
＋— 是，它是明顯的；否，它不是更亮的（=“黑夜”）
—＋ 否，它不明顯；是，它更亮（=“黎明”）
——
否，它不明顯；否，它不是更亮的（=“黃昏”）
這證明這四個概念可以恰當地映射到2LAR十字上，如圖V.4a所示：
(a) 一天的四個部分
(b)四種天氣狀況
圖V.4 映射到2LAR十字上的兩個例子
或許我也應該提到，我們不可能把隨意挑選的任何一對問題結合起來產生一個恰當的2LAR。或者我們至少要有這樣的準備：當我們想建立一個2LAR時，在所有可能的回答組合中，也許有一個、或多個組合描述的是自相矛盾的概念、或不可能存在的情形。因此，當一個2LAR（或任何其他邏輯關係）的所有的邏輯上可能的成分都體現了現實的可能性時，我稱它為“完美的”。例如，考慮這兩個問題：（1）在下雨嗎？（2）在出太陽嗎？第一眼看上去，四種回答組合裏只有三種像是描述了現實的可能性。如果對這兩個問題都回答“是”，那麼我們似乎是發現了一個不可能的組合，因為，（至少是在地球上）只要在下雨，就一定是陰天，沒有太陽。如果真是這樣，那麼這兩個問題將構成一個不完美的2LAR。然而，如果我們進一步思考第四個選項，就會認識到，它的確代表了一種現實的可能性。（正如我們整整一周都將看到的，當我們運用邏輯的幾何學來幫助我們思考時，這種讓人驚奇的事情經常突如其來地發生。）因為，太陽有時的確在下雨時出現：那是我們看到彩虹的時候！因此，即便是這個例子也體現一個完美的2LAR（如圖V.4b所示）。這個例子同時也說明了，這樣的映射可以怎樣幫助我們獲得新洞識。（順便一提，如果第二個問題是“是陰天嗎？”，那麼這將是一個不完美的2LAR，因為它的否定回答，無法與第一個問題的肯定回答結合起來。）
還記得我在第4講給出的四大元素的映射嗎（圖II.4）？既然我們已經分析了映射到十字上的一組區分的形式結構，那麼我們可以實際測試一下這組傳統概念，看它們是否體現了一個完美的2LAR。如果火是“++”而水是“--”，那麼我們可以認為它們是矛盾性對立的事物。而它們的確如此：水撲滅火，而火把水變成蒸汽。同樣，如果土是“-+”而氣是“+-”，那麼我們可以認為土與氣之間也有類似的對抗性。它們也的確如此：土和氣不會混合！互補性對立又怎樣呢？我們發現了同樣合適的結果：火需要氣和土（即，燃料）來維持燃燒，水可以與氣（像在蘇打中那樣）、土（像在泥漿中那樣）相混合。所以，儘管古希臘人沒有發展出邏輯的幾何學，但他們能夠憑著直覺，選出在現實生活中對應著完美的2LAR形式的物質，作為他們的四大基本元素。
當然，宇宙中的物理“元素”實際上不止四種；同樣，一天可以被分成不止四部分，天氣也遠遠不止四種變化！分析性劃分可以以同樣的方式不斷進行，形成多組概念之間的越來越複雜的關係模型。我們沒有時間在這門課上研究由“更高級”的分析性劃分產生的複雜關係，但我還想提最後一個例子。然而首先我應該指出，無論我們在做分析性劃分時走出多遠，那些模型始終遵循著這個非常簡單的公式：
C = 2t
“C” 指的是不同的可能成分的總數，“t”指的是每個成分中的“+/-”項的數目。順便提一下，“t”總是與分析關係的級數相同。因此，正如我們已經看到的，為建立一個2LAR，要進行2次劃分，得到的每個成分的項數是2，成分總數是4（22 = 4）。同理，為建立一個3LAR，要進行3次劃分，得到的每個成分的項數是3，成分總數是8（23 = 8）。
分析關係的級數越高，為精確描繪它所有的邏輯關係而建立起來的映射就越複雜。我們可以在古中國的一本關於智慧的書——《易經》——中找到這種複雜體系的範例。這本書描述了64個“六線形”（即，有6個部分的圖形），每個圖形都代表某種生活情境。這本書最初主要用來預測未來事件：問卜的人以隨機的方式（比如擲骰子）選出64個圖形中的兩個，於是，從一個圖形到另一個圖形的轉變成為回答問題的基礎，人們的問題通常是：現在的情形在將來會如何轉變。（因而這本書也叫《關於變化的書》。）就我們的目的而言，《易經》的預測能力當然不是吸引我們的主要原因，它的邏輯形式讓我們更感興趣。因為64個六線形實際上起著6LAR的成分的作用，每種成分有6個項。這個邏輯可能性體系的傳統表示方法，是用一組實線和虛線來定義每一種圖形。我們只要用“+”代替實線、“-”代替虛線，就可以把這個體系直接轉變為我們在前面建立的那種體系。如果按照成分間的矛盾性對立關係來安排它們的位置（就像《易經》通常做的那樣），可以把這些六線形之間的錯綜複雜的關係映射到一個球體上，當我們把這個球體投影到平面上時，球體的對立的兩極用圓心和圓周來體現，像這樣：
圖V.5 《易經》中的6LAR映射
如果這個映射讓你覺得困惑，不要擔心。我只是想讓你看一眼一種高度複雜的概念體系的邏輯形式。如果你不熟悉這個體系，這個映射對你來說就不是很有意義。儘管如此，在這一講快要結束時，我還是想指出，這個映射與某些東方宗教使用的對稱圖形（叫做“曼荼羅”）有著驚人的相似。建立曼荼羅不是為了澄清概念的邏輯結構，而是被一些人用作靜心[1]的工具，用來激發新的洞識（並最終達到“開悟”）（見DW 157-159）。正如我們將在下一講看到的，邏輯的幾何學同樣也不僅限於這種分析性應用，它可以真正觸及到我們的生活方式。
14．映射綜合關係
我們在上一講看到了，當我們以分析邏輯進行思考時，建立邏輯模式的有序方法。我們發現，這種模式可以與某些簡單的幾何圖形展現出來的模式直接聯繫起來。我們不應對此感到驚訝，因為無論是邏輯還是幾何，這樣的模式都產生於人類的心智。康得認識到這些有序的模式，他提出，理性自身包含著一個固定的建築性結構。他提高了他所說的“理性的‘建築性統一’”的地位，這是他的驗前方法的一個不可分割的方面。因為，他對“為使人類的任何經驗成為可能，要有特定的必然條件”的肯定（見第8講），假定了人類理性是按照某個固定的秩序運轉的。因為理性為我們安裝了這種秩序——這種建築性，所以，每當哲學家在他們的哲學思考中採取驗前視角時（即，每當他們問“心智將什麼加之於經驗之上？”，而不是問“心智從經驗中得出了什麼？”時），他們應該盡力去理解並遵循這種秩序。康得相信，哲學家應該讓這些模式充當建構哲學體系的驗前“設計”，就像承建人把建築師的圖紙當作修建建築物的設計一樣。因此一點也不奇怪，康得把畢達哥拉斯（Pythagoras，c.569-c.475 B.C.）、而不是泰勒斯視為第一位真正的哲學家（參看OST 392）；因為畢達哥拉斯關注的不是形而上學論題，而是數學與數的神秘主義。
邏輯是一種驗前視角（見圖IV.4），所以，當我們發現這種數位模式在哲學的這個分支中扮演著如此重要的角色時，不應該感到驚訝。然而，邏輯模式不僅與我們的驗前思維方式有關。正如畢達哥拉斯認識到的，它們與我們的生活方式也有很密切的關係。這正是我用一個取自中國哲學的例子來結束上一講的一個原因。在古中國，人們從未把《易經》僅僅當成一張驗前思維形式的邏輯表。大多數（也許甚至是所有的）使用它的人，甚至沒有覺知到它作為一個完美6LAR的洗練的邏輯結構。確切地說，他們直觀地使用它，認為它是日常生活情境中的、恒在的變化的反映。現實世界裏，事物不像我們的概念可能讓我們相信的那樣，永遠保持相互對立。相反，對立的事物會經過無窮多個階段，逐漸向對方蛻變。一旦認識到這個事實，我們也許不願意再把圖V.2b中的直線看作絕對分離的體現，要求我們在兩個離散的種類之間選擇；而是希望它體現了一個連續的統一體，包含了無窮多的階段。
事實上，來自中國傳統的另一個符號也執行著同樣的綜合功能，儘管它也可以充當分析關係的映射。我想到的是著名的“太極”符號，它描繪了陰（黑暗）、陽（光明）兩種力量之間的對立。如圖V.6所示，我們可以把這個符號僅僅當成映射2LAR的另一種方法。然而在中國傳統裏，它的基本的象徵意義卻遠非如此，因為人們把它當作對這樣一個事實的圖形表達：現實生活裏，對立的概念、經驗、力量等，不僅相互依賴對方而存在，還會經過時間的通道融入對方。這就是為什麼圖中的兩個半邊都是淚滴狀的，它意味著運動。而且，在每個“淚滴”的較大部分的正中心，我們發現了對立的力量。這就像2LAR十字裏的每根軸上的箭頭，體現著對立事物向對方彙聚的方式。
圖V.6 太極中暗含的2LAR
我們在第12講看到，正如赫拉克利特所說，對立事物的“同一”趨向實際上是綜合邏輯、而不是分析邏輯的主題。所以現在我想探討，如何運用邏輯的幾何學為邏輯的綜合關係建立精確的圖形。像分析邏輯一樣，綜合邏輯也是從一個點開始的，但現在我們認為這個點已經在自身中包含了一對矛盾。為什麼？因為綜合邏輯的基礎不是同一律和不矛盾律，而是不同一律（A≠A）和矛盾律（A=-A）。因此，為了畫出它的延伸，我們要做的不是在一個方向上引出一條線（從A到-A），而是必須在兩個方向上各引出一條線（從x同時到A和-A）。因此，能最好地體現這種“簡單的”、或“第一級的”綜合邏輯關係（縮寫為“1LSR”）的幾何圖形，是三角形。如圖V.7所示，這個三重性過程既可以指原初的綜合性分裂——一個非同一的點分裂為兩個對立物，也可以指綜合性結合——兩個對立物結合成一個新的整體（參看圖I.4與I.2）。通常，當我們只使用一個三角形時，最好用“x”代表綜合關係裏的第三項。因為在某種意義上，第三項是從“+”和“-”這兩個“已知”項裏產生的“未知”項，它保存了前兩者的本質，卻又超越了它們。然而，當我們把兩種綜合三角畫在一起時（參看圖III.2與V.7），描繪整個邏輯形式的最好辦法是：用“0”標記原初的綜合項，表示它是兩個對立物的共同源泉；用“１”標記終結的綜合項，表示它是疏遠了的兩個對立物的最終的再統一。
(a)原初的綜合
(b)最終的綜合
圖V.7 作為1LSR映射的三角形
映射1LSR的另一種方法是用圖V.2a中的圓形，用“x”標記圓周。這麼做的合理性在於，這條界線既參與了圓的外部、又參與了圓的內部，正如“x”既參與了“+”、又參與了“-”。因此，每當我們採用圓形作為邏輯映射時，標在圓周上的概念，應該起到把被它分開的兩個對立概念綜合起來的作用。然而，像分析邏輯一樣，綜合邏輯也有更高級的關係；而對於更高級的關係而言，使用三角形要比使用圓形更自然一些。所以，我把前者當作1LSR的標準映射。
建立第二級綜合關係（2LSR）的方法，是讓“+”、“-”和“x”這三項各自產生自己的綜合關係。於是產生了2LSR的九個成分：
++
-+
x+
+-
--
x-
+x
-x
xx
三個三角形交叉而成的九角星是對2LSR的很好映射，儘管也有其他可能的方式。就我們的目標而言，不需要再深入研究更高級的綜合關係的細節，只要指出一個公式就可以了，它支配著出現在每一級上的模式：
C = 3t
這裏的“C”指的也是所有可能的不同成分的總數，“t” 既指不同項的數目，又指級數。我希望你們自己去試驗一些更高級的綜合關係。
為更高級的邏輯關係的規則性做出映射（如圖V.5顯示的那樣），這種做法更適合分析關係、而不是綜合關係。因為，分析關係產生於把整體劃分為離散的部分，而綜合關係產生於把部分結合起來產生更大的整體。因為這些新的整體通常以神秘的方式將對立事物結合起來，所以更高級的綜合關係容易形成複雜的關係網絡，它們顯得像是混亂的。在這裏，我不準備為更高級的綜合關係的例子做映射，而是打算討論，綜合邏輯如何能對二十世紀的最後二十五年中、科學領域的最有趣的發展之一——“混沌理論”——做出新的解釋。“混沌理論”也叫“非線形動力學”，它是數理物理學的一個令人驚訝的新領域，對人類生活的一些最神秘的方面具有巨大的解釋潛力。簡單地說，這種理論認為，秩序從混亂中產生出來：當我們觀察整個系統時，各部分間的關係看起來是偶然的；然而在較低的層次上觀察，同一個系統可以展現出高度的秩序。說明混亂能在世界上產生遠端影響的典型例子是，有人聲稱的：“一隻蝴蝶在紐約扇動翅膀，也許會引起香港的天氣變化。”當兩者之間沒有可觀察到的“因果”關係時，這怎麼可能是真的？而我相信，答案在於：把混亂視作一種更高級的綜合關係。我在這個例子裏說到的“因”，一定不能被解釋為可以通過分析邏輯理解的、普通的原因。它更像是一個巨大集合內部的相互作用，這個集合由眾多的、交織在一起的1LSR三角組成，與這些三角結合在一起的綜合性，不屬於精確的分析的主題。
圖V.8 作為6C R的大衛之星
我們不必花更多時間研究更高級的綜合關係，這樣做的一個很好的理由，是1LSR有另外一種應用，而這種應用更易於映射，因此對哲學也更有用。正如我們在第11講看到的，分析和綜合最好被視為互補的方法，所以，當我們把分析邏輯與綜合邏輯結合在同一個映射裏時，就產生了它們在邏輯的幾何學上的最有意義的應用。最簡單的辦法是把一個1LAR和一個1LSR結合起來——把兩個相互交叉的三角形放在一起，形成一個“大衛之星”。得到的“六重混合關係”（或“6CR”）有六個成分（2×3=6），可以用圖V.8的方式把它們放在一個映射上，每個成分的第一項體現著兩個三角形之間的分析性對立。將圖V.7中的兩個三角平移到一起，然後將整個圖形逆時針旋轉90°，就得到圖V.8中的圖形。頂點“0”和“1”分別變為“-x”和“+x”。
對於任何兩組我們相信能以上述方式關聯在一起的“三概念”，都可以用這個映射研究它們之間的邏輯關係。例如，我的一位學生曾想到：把著名的哲學三概念“真、善、美”與著名的宗教三概念“信、望、愛”進行比較。這六個概念是否構成了一個合法的6CR，測試辦法是看能否找到這樣一種方法：按照這種方法把它們映射到圖V.8的圖形上，此時位於對立位置上的概念，真的具有使它們成為互補性對立事物的特徵。這個任務的第一步，是把“-”三角與哲學概念聯繫起來、把“+”三角與宗教概念聯繫起來，於是定義了基本的1LAR。但我再次更希望你們自己去試驗剩下的細節，或是試驗自己做出來的例子。
把分析關係與綜合關係結合起來的另一種方式，是把簡單的1LSR和一個2LAR結合起來。得到的“十二重混合關係”（或“12CR”）的十二種成分（3×4=12），當然可以映射到一個十二角星上；但我認為更好的辦法是把它們直接映射到一個圓上，尤其是因為，這樣一來，這個映射會很像我們熟悉的鐘錶盤面。另外，使用圓形能使中心空出來，十二個成分之間有很多邏輯關係，當我們想特別強調其中的一組時，可以在圓圈裏面填上體現這組關係的圖形。例如，我在圖V.9的圓裏放了一個十字，於是把圓分成了四個主要部分（2LAR）。但我們也可以用一條線、一個三角形、一個正方形、或是它們的組合，來突出這個映射裏暗含的其他邏輯關係。
這麼複雜的映射有什麼用？有一點是顯而易見的：圖V.9與傳統的黃道十二宮的符號嚴格一致，它們以完全相同的方式分成“四個三”。這也許能解釋這類古代“智慧”（它們通常被今天的哲學家嘲笑）的理性根源，但即便不論這一點我們也會看到，12CR運轉在人類生活和思考的很多領域。例如，我們為什麼把一年分成十二個月（四個季節，每個季節有三個月）？白天為什麼有十二個小時？我們很容易把它們錯當成純粹的任意的慣例。但它們也許恰恰發端于理性思維的結構中。康得對此深信不疑；因為，正如我們在第8講看到的，他列出的十二範疇也符合同樣的“四個三”模式（見圖III.9）。此外，如我在《康得的視角體系》（Kant's System of Perspectives）中論證的，康得在構建組成他的批判體系的論點時，也用了同樣的十二重模式——其實，這個模式是他的“建築設計”的基本形式。
圖V.9 映射12CR的圓
其他學科也不乏與之結構相同的十二重區分。例如，一位名叫麥克斯韋的著名的物理學家在十九世紀發現，有十二種不同形式的電磁力，它們可以被分成四組，每組包含三種電磁力。後來，量子物理學家發現“誇克”（構成物質的基本粒子）剛好有十二種類型。可以舉出無數這樣的例子。然而，12CR的這種應用實際上是如何運轉的？對這個問題的詳細解釋超出了我們的入門課的範圍。下一講，我們要把注意力轉回綜合邏輯本身，以便更好地理解它是如何運轉的，以及邏輯的幾何學如何通過把綜合邏輯提供的新視角形象化、讓新洞識的獲得過程變得更容易。
15．映射洞識於新視角
綜合邏輯的主要功能，是震撼我們、讓我們獲得新視角。我們一旦認識到這一點，就不難理解為什麼一個命題即便打破了不矛盾律也仍然可能有意義。因為這樣的命題其實沒有違反亞里斯多德的最嚴格意義上的法則。亞里斯多德已經認識到，如果從兩個不同的視角看出去，“A”可以等於“-A”。這就是為什麼當他定義這條法則時，要在“一樣事物不可能既是又不是”前面加上“在同一時間、就同一方面而言” 這個條件。事物在時間中變化，而且當人們以不同的方式看待它們時，會產生不同的描述；因此在這些情況下，法則“A≠-A”不成立。但大多數人會覺得很難用新方式看待熟悉的事物。綜合邏輯要做的，是讓我們與思考或看待熟悉主題的反常方式直接面對面，並在此過程中用洞識點燃我們的想像力。
這是綜合邏輯和邏輯的幾何學都具有的功能。因為它們都能為我們提供一些手段，提高我們以新方式看待老問題的能力，並在此過程中深化我們對令人費解的問題的洞識。事實上，這兩種邏輯工具結合起來也許就形成了哲學的最有用的實踐應用。因為，正如我們將會看到的，清晰地理解這些工具幾乎可以在任何領域幫助你更清晰、更有洞察力地思考、寫作，而不僅限於處理哲學問題。因此，讓我們先單獨討論綜合邏輯，然後再討論如何以類似的方式、用幾何映射來提高明晰性和洞察力。
事實上，已經有一些哲學家用綜合邏輯來說明新洞識是如何產生的。例如，莊子的令人困惑的自相矛盾、託名狄奧尼修斯的僧侶提出的一系列否定陳述（見第12講），它們都可以被視為刺激讀者的方式，促使讀者去發現關於“道”或“上帝”的新洞識。同樣，這也是解釋黑格爾的著名的“辯證”邏輯的最有效的途徑（見圖IV.7）。黑格爾的“合題”理念認為，在人類歷史上，每當兩種對立的力量相撞、並產生出新的現實時，變革就發生了。我們最好把這種理念當作對人類視角的變化過程的描述。每當我們的視角發生變化時，新的洞識往往相伴而生。而遺憾的是，黑格爾的語言如此複雜、人們如此難以跟上他的論證，以至於很多人讀完他的著作後反而更加困惑、而不是更有洞識。所以，就我們的目標而言，更好的辦法是研究當代的一位學者，他在很實際的層面上發展了一些運用綜合邏輯的方法。
波諾（Edward de Bono，1933-）更是一位卓越的教育家，而不是專業的哲學家。儘管如此，他在很多著作中討論的法則都與多種哲學問題密切相關，尤其是邏輯領域。因為他關心的主要問題，是教給人們如何創造性地思考。他在此過程中證明了：綜合邏輯的法則並非只是抽象的理論，很難、或不可能有什麼應用；相反，它們是幫助我們解決多種現實生活問題的有效工具。例如，波諾在《水平思維法》（The Use of Lateral
Thinking）裏用幾何術語區分了兩種思維方式：我們常用的“垂直”思維和總是設法從新視角看待舊狀態的“水平”思維。（顯然，前者對應著分析邏輯，後者對應著綜合邏輯，儘管波諾沒有使用這兩個術語。）他提出，每當我們感到自己被一個無法解決的問題給“粘住”時，往往不是因為眼前沒有解決辦法，而是因為我們的視角太狹窄了。這就是為什麼在這種情形下，從埋頭苦幹中抽身出來稍事休息往往很有幫助：當我們回來時，會比較容易自由地改變看待問題的方式；而我們經常發現，解決辦法一直就在我們的鼻子下面！
讓我講一個自己的小故事來說明水平思維。小時候，我覺得用刀叉吃雞很費勁兒，我總是更喜歡用手指。有一天，我發現爺爺用刀叉吃雞靈活自如，就問他為什麼能把這麼費勁的事做得這麼輕鬆。他的回答很簡單：“你一直想把雞肉從骨頭上弄下來，而其實你只要把骨頭從雞肉上剔出去就可以了。”這就是水平思維！而且它很奏效：骨頭一直妨礙我享受我最喜愛的食物，而當我改變了看待任務的方式時，這個麻煩真的消失了！這也是一個運用綜合邏輯的例子，因為爺爺的建議使我越過了本來像是絕對對立的事情：“用手指很容易把雞肉從骨頭上弄下來”，和“用刀叉很難把雞肉從骨頭上弄下來”。而新視角——“把骨頭從雞肉上取下來”，使我把第一個命題的“很容易”和第二個命題的“用刀叉”綜合了起來。水平思維總是會以這種方式切過我們原來的思維方式，很像十字的橫軸切過縱軸軸。[2]
波諾另一本書——《Po：超越是與否》（Po: Beyond Yes and No）——提出了尋找新發現的另一個工具。正如書名向我們揭示的，這種新方法比水平思維更明顯地根植於綜合邏輯。波諾在這本書裏造了一個新詞“po”：當一個問題的正確答案既不是“是”、也不是“否”（或者，既是“是”、又是“否”）時，我們就用“po”來回答。他指出（POints out），很多在創造性思維中扮演著重要（imPOrtant）角色的單詞都包含“P-O”，比如： 假設（hyPOthesis）、詩歌（POetry）、可能性（POssibility）、潛在的（POtential）、積極的思考（POsitive thinking）以及設想（supPOse）。也可以把“PO”視為“預設對立面（Presuppose the Opposite）”的縮寫。為了說明這個新詞如何能真正幫助我們提高獲得新洞識的能力——即，超越我們現有視角的地平線看到新的可能性（POssibilities）、新的機會（opPOrtunities）——波諾建議我們試驗各種“po情境”。為了完成這個試驗，我們必須把“po”當作形容詞，修改我們想要創造性地考慮的詞；但此時我們對那個詞的特徵的描述，一定要預設為我們通常想到的跟那個詞有關的事物、行為、或情境的反面。波諾向我們保證，如果我們想：“假如這種po情境是真的，事情將會怎樣？”，獲得新洞識會變得容易得多。
讓我們做個試驗。設想我對自己的教學方法不滿意，打算思考一種新的、有創造性的授課方法。為了把它當成一個“po情境”，我必須對自己說“po老師是……”，並用一些通常與現實生活中的老師的真實情況不相符的特徵來完成這個句子。我們會說什麼？“po老師知道得比學生們少” 怎麼樣？這只是從師生關係的眾多可能特徵中隨意選出的一種。但我們平時的確假設老師知道得比學生多，所以，上面的陳述通過故意與慣常的假設相反，可以成為“po情境”的一個很好的例子。如果學生知道的東西真的比老師多會怎麼樣呢？嗯，一方面，如果我被指派在這樣的情境下授課，我會很謙恭地做這項工作（如果不是嚇得發抖的話！），心裏知道我學到的可能會比學生多。所以，我當然應該尊重我的學生，而“學生應該把我當作老師來仰望”這種常有的期望，顯得不是那麼有理由。另外，我會通過在課堂上向學生提問、讓他們向我提問、或者讓他們分組討論，盡力鼓勵學生自己多講。因為，既然“po學生”最知道這門課在講什麼，那麼“po老師”如果不給他們充分的機會讓他們分享彼此的知識，是很愚蠢的。
如果我現在從po情境返回到“現實世界”，會發現我無意中找到了一些可以改善我的教學的新想法：我應該謙虛地向我的學生學習；在學習探索的過程中把他們視為與我平等的人來尊重；如果他們對我表現出某種不尊重，不要心煩意亂；要鼓勵他們提問題、回答問題，要讓他們有機會相互討論。我第一次講這一課時，事先沒有想到這些洞識，當我在課堂上試驗波諾的方法時，它們才進入我的腦海。而我認為它們真的是很好的洞識，你們覺得呢？如果是，那麼記住這一點非常重要：它們出現在我的腦海裏不是因為我特別聰明，而是因為我用“po”進行了水平思維，它促使我採取一個令人驚訝的新視角去看待一個熟悉的主題。你可以自己證明這一點，只需用同樣的方法，反思任何你想有所提高的領域、或是任何需要你以新洞識去看待的主題。只要記住：“po思維”能激發洞識，是因為它促使我們有意採取與實際情境相矛盾的視角——如果曾經有過對綜合邏輯的實際應用的話，這就是一個例子！
希望上面的例子已經幫助你們看到了運用綜合邏輯的巨大價值——事實上是“必要性”。我相信它們已經奏效了，因為，這麼多年來，我注意到，初學哲學的人往往比專業哲學家更容易掌握綜合邏輯！毫無疑問，這種現象的一部分原因是，西方哲學家往往被訓練得偏愛分析邏輯的惟一有效性。在有些傳統裏，邏輯被定義為“分析”；所以，任何試著提出非分析性邏輯的人，當然被認為是在胡言亂語。然而正如我們已經看到的，綜合邏輯表現出跟分析邏輯一樣多的模式；因此，如果我們把邏輯定義為“語言的模式”，那麼很顯然，綜合邏輯與分析邏輯應該被同等地稱為“邏輯”。（順便提一下，受了東方思維方式的訓練的哲學家有時會發展出對綜合邏輯的偏好；但歸根結底，這種偏好並不比西方哲學家的偏好更好。一位“好”哲學家應該能領會兩者並用的價值。）初學者那麼容易接受綜合邏輯的另一個理由也許是，事實上，運用綜合邏輯所要求的形式訓練，比分析邏輯的要少：分析邏輯是認知（尤其是思考）的邏輯，而綜合邏輯是經驗（尤其是直觀）的邏輯。在這個意義上，我們可以把綜合邏輯叫做“生活的邏輯”。
如果本書的讀者是一位學生，那麼你的生活很可能主要集中在學習、寫論文和考試上。考慮到這一點，我將把這一講剩下的部分全部用來討論一個所有的讀者都會感興趣的主題，尤其是正在寫洞識論文的讀者：對視角的覺知如何能幫助我們提高寫作技巧。我們已經看到，洞識往往會在我們學會轉換視角時產生（就像在水平思維和“po思維”裏那樣），而綜合邏輯是支配著這種轉換的邏輯；接下來我們要研究：根據邏輯的幾何學的原則映射我們的視角的能力，如何能進一步提高我們對洞識的接受力？
首先讓我提醒你，在你真的要在一篇論文或文章中使用邏輯映射之前，應該慎重估計：你的讀者是否會接受圖形思維？有些人天生偏愛這種思考方式，而另一些人卻好像完全無法理解它。我在牛津的博士論文最初沒有通過，因為一位元主考對我使用圖形反應過於敏感。他聲稱，我的論文只要不再充斥著以邏輯的幾何學為基礎的圖表，就是一篇包含了“可供發表的內容”的論文。有諷刺意味的是，我在論文中為圖表的使用進行論證的那一章（KSP的第三章），當時已經被一家著名的專業期刊接受了！儘管如此，我還是不得不重寫論文、去掉圖表，直到確信它能被那位主考接受。這個例子說明，一個人對圖表的反應也許更多地與他（或她）對圖形思維的偏見有關（例如，關於“學術論文應該是什麼樣子”的無可置疑的神話），而不是與任何有理性的、理由充分的反對意見有關。如果你認為你的讀者也許有這樣的偏見，你仍然可以用圖表幫助你組織思路、激發洞識，但明智的做法是不要在文章的定稿中包含它們。但如果你的老師喜歡用圖表、或至少對這類事物保持著開放的態度，那麼，加入實際的圖表是把好文章變得更好的、效果顯著的方式。
邏輯映射的最基本的應用，是幫助你勾勒文章的總體流程，就像我在圖I.1中為本書所做的那樣。你也許沒注意到，那個2LAR映射提供了一個模式，它可以為建立清晰而完備的論證提供普遍的指南。如圖V.10所示，在這個模式的最簡單的應用裏，純粹成分（-- 與 ++）代表文章的導言和總結。在一篇組織得很好的文章裏，導言和總結不僅僅是對其他部分的內容的“一前一後”的概述。相反，好的導言應該勾勒出文章主題的基本限制條件，正如“認識無知”在我們這門課中起的作用。同樣，好的總結應該給讀者留下清晰而有趣的實踐應用、和/或供進一步研究的觀點。我們將在第四部分看到，“對靜默的驚異” 恰恰為我們的哲學研究起到這樣的作用。相反，混合成分（+- 與 -+）要提出關於文章主題的兩個對立的視角。在我們的例子裏，思考（邏輯）與行動（智慧）是這門課的第二、三部分關注的一對矛盾。如果一篇文章的第二、三部分研究的觀點，容易被看成是相互競爭的理論或方法，那麼把這對矛盾的觀點視為兩種視角，可以使文章變得格外富有洞識。如果你能有效地證明，這兩者實際上是如何相容的，並/或清晰地闡明特定的不相容為什麼是不可避免的，那麼你會寫出一篇令人印象深刻的文章。
圖V.10 有組織的文章的四個部分
預先設計你要寫的東西的格式，這個程式乍看起來似乎不合理：既然現實世界沒有劃分得那麼整齊，我們怎麼能事先知道這個主題是否真可以裝進這麼整齊的邏輯模式？康得會回答說，這個問題忽略了“理性自身具有不可或缺的建築性”這個事實。就是說，我們的思維是（或應該是！）有序的、模式化的，因此，任何一篇包含了理性思考的文章，都不應該把秩序交給偶然性。當然，不能用這種方法預先決定文章的內容。但如果你要寫的是一篇能因清晰而有序的寫作方式獲益的文章，那麼選擇一種像2LAR一樣常見的模式，幾乎可以保證你的文章的清晰性和說服力會有所提高。有些文章也許非常細緻，以至於需要更複雜的模式，比如，為了組織這門課（以及它的續篇DW，還有KSP 和KCR）而採用的12CR。大多數作者（甚至是高度抽象的哲學論文的作者）採用的另一種做法是：不遵循任何規則，只是將文章隨意地分成若干部分。但這樣會使讀者完全沒有文章的劃分線索，無法知道它為什麼偏偏是以這種方式、而不是其他方式劃分的。
運用邏輯的幾何學預先設計一篇文章，這種做法到目前為止帶給我們的最大益處，是使我們注意到各個主題之間的差距、和事先未曾察覺的聯繫。我在這一周的前兩講舉過幾個例子，說明幾何映射可以幫助我們提高洞察力。（還記得彩虹嗎？）這類潛在例子太多了，我能輕而易舉地用它們寫滿整本書！但就我們的目標而言，再舉一個例子就可以了，它可以說明：映射如何能讓我們發現對熟悉的老問題的新視角，從而幫助我們加深洞識。
當我著手編寫本書的現在這個版本時，我教《哲學入門》已經有三十多次了。每次開課的第一天，我總是採用與圖I.1和I.3相似的圖表，作為學生將要學到的東西的預覽。後來有一天，在香港的一次哲學咖啡聚會之後，我跟一個參加聚會的人討論靜默的本質。我在說話時突然認識到，這門課的第二部分和第四部分可以被描述為人類經驗意義（meaning）的兩種方式。因此“意義”這個詞可以用來標識圖I. 3的縱軸。晚上回家時，想像著有了標識的縱軸，我很想知道：那麼，應該怎樣標識橫軸呢？如果我沒有用邏輯的幾何學來組織這門課，這個問題決不會出現。而它現在變得那麼明顯，以至於我對自己13年來從未想過這個問題而感到非常吃驚！我想了幾個星期仍然沒有答案。後來，在跟以前的一位學生談話時，我最後坐下來，畫出圖表。我看到橫軸的一端標著“無知”、另一端標著“知識”，刹那間，它刺激我想到兩個很好的答案：第一部分和第三部分涉及的都是實在（reality），但分別來自兩個不同的視角（最終的與非最終的）；然而，讓它與“意義”相對照的更自然的做法，是把它指稱為“生存（existence）”。我的新洞識現在完成了：這門課的總目標是分享對這一問題的識見——去生存的意義是什麼？
供深入思考/對話的問題
1.
A. 怎樣映射比12CR更高級的混合關係？
B. 可不可能有半級分析性劃分（例如，1/2LAR）？
2. A. 可以用十字映射綜合關係嗎？
B. 可以用三角形映射分析關係嗎?
3. A. 可以把“x”與“+”（或“x”與“-”）綜合起來嗎?
B. 真的存在著有魔力的數字嗎？
4. A. “po水平思維”會是什麼？
B. 有可能獲得根本無法被映射的洞識嗎？
推薦讀物
1.
George Boole, An Investigation of the
Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and
Probabilities (London: Dover Publications, 1854).
喬治·布爾：《關於邏輯與可能性的數學理論之基礎的思維法則的研究》。
2.
Stephen Palmquist, Kant's System
of Perspectives, Ch. III, "The Architectonic Form of Kant's
Copernican System" (KSP 67-103).
龐思奮：《康得的視角體系》，第3章“康得的哥白尼體系的建築形式”（KSP 67-103）。
3.
Stephen Palmquist, The Geometry
of Logic
(unpublished; working draft available at
http://www.hkbu.edu.hk/~ppp/gl/toc.html).
龐思奮：《邏輯的幾何學》（未發表，草稿見於：http://www.hkbu.edu.hk/~ppp/gl/toc.html）。
4.
Underwood Dudley, Numerology:
Or, what Pythagoras wrought (Washington D.C.: The Mathematical
Association of America, 1997), Ch.2, "Pythagoras", pp.5-16.
安德伍德·達德利：《數字命理學——或畢達哥拉斯的成果》，第2章“畢達哥拉斯”，第5-16頁。
5.
Robert Lawlor, Sacred Geometry:
Philosophy and practice (London: Thames and Hudson, 1982).
羅伯特·勞勒：《神聖的幾何學——哲學與實踐》。
6.
Edward de Bono, The Use of Lateral
Thinking
(Harmondsworth, Middlesex: Penguin Books, 1967).
E.波諾：《水平思維法》。
7.
Edward de Bono, Po: Beyond yes and no
(Harmondsworth, Middlesex: Penguin Books, 1972).
E.波諾：《Po：超越是與否》。
8.
Jonathan W. Schooler, Marte
Fallshore, and Stephen M.
Fiore, "Putting
Insight into Perspective", Epilogue in R.J. Sternberg and J.E. Davidson
(ed.), The Nature of Insight (Cambridge,
Mass.: MIT Press, 1995), pp.559-587.
R.J. .斯頓伯格與J.E.大衛森（編）：《洞識的本質》之“後記”：“將洞識放入視角”（Jonathan W. Schooler, Marte Fallshore, 與 Stephen M. Fiore 著），第559-587頁。
[1]
靜心：meditation，又譯“冥想”。
[2]
英語原文中，作者將“垂直思維”誤引為“水平思維”，將“水平思維”誤引為“側面思維”。經作者同意，翻譯時做了相應的改動。
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